16. Решите неравенство \(\frac{4x^3-27x+27}{5^{2x}-31\cdot5^x+30}\ge0\).

Разложим числитель на множители:

\(4x^3-27x+27=(x+3)(2x-3)^2\).

В знаменателе сделаем замену \(t=5^x\), где \(t>0\):

\(5^{2x}-31\cdot5^x+30=(5^x-1)(5^x-30)\).

Знаменатель обращается в ноль при \(x=0\) и \(x=\log_5 30\); эти значения исключаются. Его знак положителен вне интервала \((0,\log_5 30)\) и отрицателен внутри. Числитель имеет нули \(-3\) и \(\frac32\), причём \(\frac32\) — корень чётной кратности. Анализ знаков даёт неотрицательное значение дроби на \([-3,0)\) и в точке \(\frac32\).

Ответ: \([-3;0)\cup\{\frac32\}\).