14. $\angle$ P, $\angle$ R -?

Question

14. $\angle$ P, $\angle$ R -?

$Фото задания: 14. $\angle$ P, $\angle$ R -?$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

В $ \triangle PQR $:

$ \angle PRQ $ — угол $ R $.
$ \angle QPR $ — угол $ P $.
$ QM $ — высота, $ QM \perp PR $.
$ \angle QMP = 90^{\circ} $.
$ \angle MQR = 25^{\circ} $ (дано).
$ \angle RQM = 45^{\circ} $ (дано).
$ \angle PRQ $ — угол $ R $.
$ \angle QPM $ — угол $ P $.

Рассмотрим $ \triangle QMR $.

$ \angle QMR = 90^{\circ} $ (так как $ QM \perp PR $).
$ \angle RQM = 45^{\circ} $.
$ \angle R = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} $.

Рассмотрим $ \triangle QMP $.

$ \angle QMP = 90^{\circ} $.
$ \angle P $ — это $ \angle QPM $.
$ \angle P = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle MQP $.
$ \angle MQP $ — это $ \angle RQM + \angle RQP $ или $ \angle RQM + \angle QPM $
$ \angle PQR = \angle PQM + \angle MQR $.
$ \angle PQR = \angle PQM + 25^{\circ} $.

$ \angle P $ — это $ \angle QPR $.

У нас есть $ \angle R = 45^{\circ} $.

В $ \triangle QMP $, $ \angle MQP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle P $.

$ \angle PQR = \angle R $ + $ \angle P $

$ \angle P = \angle QPR $.

$ \angle P $ — это $ \angle QPM $.

$ \angle R $ — это $ \angle QRM $.

$ \angle PQR $ — это $ \angle PQM + \angle MQR $.

$ \angle PQR $ — это $ \angle RQP $.

$ \angle P = \angle QPR $.

$ \angle R = \angle QRP $.

В $ \triangle QMR $, $ \angle QMR = 90^{\circ} $, $ \angle RQM = 45^{\circ} $, следовательно $ \angle R = 45^{\circ} $.

$ \angle PQR $ — внешний угол $ \triangle QMP $.

$ \angle PQR = \angle P + \angle QMP $.

$ \angle RQP = \angle P + 90^{\circ} $.

$ \angle PQR = \angle PQM + \angle MQR $.

$ \angle PQR = \angle PQM + 25^{\circ} $.

$ \angle P = \angle QPR $.

$ \angle R = \angle QRP $.

Сумма углов в $ \triangle PQR $ равна $ 180^{\circ} $.

$ \angle P + \angle R + \angle PQR = 180^{\circ} $.

$ \angle P + 45^{\circ} + \angle PQR = 180^{\circ} $.

$ \angle PQR = 135^{\circ} - \angle P $.

Из $ \triangle QMP $, $ \angle P = 90^{\circ} - \angle PQM $.

Из $ \triangle RQM $, $ \angle R = 45^{\circ} $.

$ \angle PQR = \angle PQM + \angle MQR = \angle PQM + 25^{\circ} $.

$ \angle P $ = $ \angle QPR $.

$ \angle R $ = $ \angle QRP $ = $ 45^{\circ} $.

$ \angle PQM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle P = 90^{\circ} - \angle P $.

$ \angle PQR = (90^{\circ} - \angle P) + 25^{\circ} = 115^{\circ} - \angle P $.

$ \angle P + \angle R + \angle PQR = 180^{\circ} $.

$ \angle P + 45^{\circ} + (115^{\circ} - \angle P) = 180^{\circ} $.

$ 160^{\circ} = 180^{\circ} $. Это неверно.

Рассмотрим $ \angle Q = \angle PQR $.

$ \angle R = 45^{\circ} $.

$ \angle P = \angle QPR $.

$ \angle RQP = \angle R + \angle P $ (внешний угол треугольника)

$ \angle RQP = 45^{\circ} + \angle P $.

$ \angle RQP = \angle RQM + \angle MQP = 45^{\circ} + \angle MQP $.

$ 45^{\circ} + \angle P = 45^{\circ} + \angle MQP $.

$ \angle P = \angle MQP $.

В $ \triangle QMP $, $ \angle QMP = 90^{\circ} $.

$ \angle P + \angle MQP = 90^{\circ} $.

$ \angle P + \angle P = 90^{\circ} $.

$ 2 \angle P = 90^{\circ} $.

$ \angle P = 45^{\circ} $.

$ \angle R = 45^{\circ} $.

$ \angle PQR = \angle RQP = \angle R + \angle P = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ} $.

Ответ: $ \angle P = 45^{\circ} $, $ \angle R = 45^{\circ} $.

14. \(\angle\) P, \(\angle\) R -?

Ответ:

Решение: