15. AB, \(\angle\) B -?

Решение:

В \( \triangle ABC \):

• \( \angle C = 90^{\circ} \) (прямой угол отмечен).
• \( AC = 12 \) (дано на чертеже).
• \( \angle A = 45^{\circ} \) (дано на чертеже).
• \( AB \) — гипотенуза.
• \( BC \) — катет.
• \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).
• Так как \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
• Следовательно, \( AC = BC = 12 \).
• По теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).
• \( AB^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288 \).
• \( AB = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12 \sqrt{2} \).

Ответ: \( AB = 12\sqrt{2} \), \( \angle B = 45^{\circ} \).