14. Аня надо подписать 185 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Аня подписала 5 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за седьмой день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Задание 14: Количество открыток

Это задача на арифметическую прогрессию.

Дано:

• Общее количество открыток: \( S_{10} = 185 \).
• Первый член прогрессии (открыток в 1-й день): \( a_1 = 5 \).
• Количество дней: \( n = 10 \).
• Разность прогрессии (ежедневное увеличение): \( d = 1 \).

Найти: количество открыток, подписанных за седьмой день \( a_7 \).

Решение:

1. Сначала найдем количество открыток, подписанных в 10-й день \( a_{10} \), используя формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
2. Подставим известные значения: \[ 185 = \frac{10}{2}(5 + a_{10}) \]
3. Упростим: \[ 185 = 5(5 + a_{10}) \]
4. Разделим обе части на 5: \[ \frac{185}{5} = 5 + a_{10} \]
5. \( 37 = 5 + a_{10} \)
6. Найдем \( a_{10} \): \[ a_{10} = 37 - 5 = 32 \].
7. Теперь, когда мы знаем \( a_1 \) и \( a_{10} \), а также \( n = 10 \), мы можем найти разность прогрессии \( d \), но в условии уже сказано, что она равна 1. Давайте проверим это. Используем формулу n-го члена: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
8. \( a_{10} = 5 + (10-1)d \)
9. \( 32 = 5 + 9d \)
10. \( 9d = 32 - 5 \)
11. \( 9d = 27 \)
12. \( d = 3 \).
13. Внимание: в условии сказано, что разность равна 1. Но расчеты показывают, что она равна 3. Предположим, что разность равна 3, так как она выводится из данных задачи (общее количество открыток и количество дней). Если бы разность была 1, то сумма за 10 дней была бы: \( S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 5 + (10-1) \cdot 1) = 5(10+9) = 5 \cdot 19 = 95 \), что не равно 185. Поэтому будем считать, что \( d=3 \).
14. Теперь найдем количество открыток, подписанных за седьмой день \( a_7 \) с \( a_1 = 5 \) и \( d = 3 \): \[ a_7 = a_1 + (7-1)d \]
15. Подставим значения: \[ a_7 = 5 + (6) × 3 \]
16. \( a_7 = 5 + 18 \]
17. \( a_7 = 23 \)

Ответ: 23 открытки.