14. Камень бросают с крыши дома. В первую секунду камень пролетает 3 метра, а в каждую следующую секунду на 4 метра больше, чем в предыдущую, и в результате падает на землю. Сколько метров пролетит камень за первые двенадцать секунд?

Задание 14. Арифметическая прогрессия

Это задача на арифметическую прогрессию, где:

• Первый член прогрессии (расстояние, пролетевшее за 1-ю секунду): $$a_1 = 3$$ метра.
• Разность прогрессии (на сколько увеличивается расстояние каждую следующую секунду): $$d = 4$$ метра.
• Количество членов прогрессии (количество секунд): $$n = 12$$ секунд.

Нам нужно найти сумму первых 12 членов прогрессии ($$S_{12}$$), то есть общее расстояние, которое пролетит камень за 12 секунд.

Сначала найдем расстояние, которое камень пролетит за 12-ю секунду ($$a_{12}$$), используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$

\[ a_{12} = 3 + (12-1) × 4 = 3 + 11 × 4 = 3 + 44 = 47 \] метров.

Теперь найдем сумму первых 12 членов прогрессии ($$S_{12}$$) по формуле:

\[ S_n = \frac{(a_1 + a_n) × n}{2} \]

\[ S_{12} = \frac{(3 + 47) × 12}{2} = \frac{50 × 12}{2} = \frac{600}{2} = 300 \] метров.

Ответ: 300 метров.