14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Заметим, что длина всей ломаной увеличивается на сумму длин двух последних звеньев. Длина ломаной с последним звеном длиной 10: 1+2+3+4=10. Длина ломаной с последним звеном 2= 1+2=3. Длина ломаной с последним звеном 4=1+2+1+2+3+4=10. Длина ломаной с последним звеном 6=1+2+3+4+5+6=21. Заметим закономерность: длина ломаной равна сумме арифметической прогрессии от 1 до длины последнего звена. То есть если последнее звено x, то длина ломаной будет 1+2+3...+x=\frac{x(x+1)}{2}. Итого, длина ломаной с последним звеном 120 будет равна \frac{120(120+1)}{2} = \frac{120 * 121}{2} = 60 * 121 = 7260. Если внимательно рассмотреть рисунок змейки, видно, что ее длина состоит из суммы двух последовательностей 1,3,5... и 2,4,6. То есть общая сумма равна: \frac{120}{2} * (120+2) /2 + 120/2 * (120+0)/2 = 60*61+60*60 = 60*121 = 7260. Ответ: 7260.