14 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована ломаная, состоящая из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 8. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 90.

Анализ:

В задаче сказано, что ломаная состоит из чётного числа звеньев и каждое последующее звено увеличивается на 2 (судя по картинке, где видно спираль, начинающуюся с 2, потом 4, 6, 8). Если последнее звено имеет длину 8, значит, всего звеньев 4 (2, 4, 6, 8).

Если последнее звено имеет длину 90, то число звеньев будет 45 (90 / 2).

Сумма арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n \]

Где:

• S_n — сумма всех звеньев (длина ломаной)
• a_1 — длина первого звена (2)
• a_n — длина последнего звена (90)
• n — количество звеньев (45)

Решение:

Подставим значения в формулу:

\[ S_{45} = \frac{2 + 90}{2} \times 45 \]

\[ S_{45} = \frac{92}{2} \times 45 \]

\[ S_{45} = 46 \times 45 \]

\[ S_{45} = 2070 \]

Ответ: 2070