16 Найдите градусную меру центрального угла АОВ, если известно, что BC – диаметр, а угол АВС равен 20°. Ответ дайте в градусах.

Анализ:

Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Центральный угол AOB также опирается на дугу AB. Диаметр BC делит окружность на две полукружности.

1. Угол ABC = 20°. Так как он вписанный, то дуга, на которую он опирается (дуга AC), равна 2 * 20° = 40°.

2. Угол AOC — центральный угол, опирающийся на дугу AC. Следовательно, ∠AOC = 40°.

3. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр BC). Значит, ∠ACB = 90°.

4. В прямоугольном треугольнике ABC (угол ACB = 90°) найдем угол BAC:

\[ ∠BAC = 180° - 90° - 20° = 70° \]

5. Угол BOC — развернутый угол, так как BC — диаметр, поэтому ∠BOC = 180°.

6. Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Дуга AB = дуга BC - дуга AC = 180° - 40° = 140°.

7. Следовательно, центральный угол ∠AOB = 140°.

Ответ: 140°