14. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через ребро AB и середину ребра CC₁. Определите вид четырёхугольника и найдите его площадь.

Пусть M — середина CC₁, а N — середина DD₁. Плоскость сечения пересекает грань ABCD по AB, а противоположную боковую грань — по MN. Поэтому сечение — четырёхугольник ABMN.

Обозначим ребро куба через a. Отрезки AB и MN параллельны и равны a. Сторона BM лежит в квадратной грани BCC₁B₁; поскольку M — середина CC₁, BM = √(a² + (a/2)²) = a√5/2. AB перпендикулярен плоскости этой грани, значит AB ⟂ BM. Следовательно, ABMN — прямоугольник.

Площадь: S = AB · BM = a · a√5/2 = √5a²/2.

Чертёж схематический, не в масштабе.

Ответ: прямоугольник; площадь √5a²/2.