14. Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P — середины отрезков BA, BC и BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см².

а) В треугольнике BAC точки M и N — середины BA и BC, поэтому MN ∥ AC. В треугольнике BAD точки M и P — середины BA и BD, поэтому MP ∥ AD. Прямые MN и MP пересекаются в M, а AC и AD — в A. Следовательно, две пересекающиеся прямые плоскости MNP соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости ADC. Значит, плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Отображение гомотетии с центром B и коэффициентом 1/2 переводит A, C, D соответственно в M, N, P. Поэтому треугольники MNP и ACD подобны с коэффициентом 1/2, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента:

\(S_{MNP}=48\cdot(1/2)^2=12\text{ см}^2.\)

Ответ: а) плоскости MNP и ADC параллельны; б) 12 см².