14. В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где:

• Количество рядов \( n = 12 \).
• Число мест в первом ряду \( a_1 = 18 \).
• Разность прогрессии \( d = 2 \) (каждый следующий ряд имеет на 2 места больше).

Чтобы найти общее количество мест, нужно найти сумму первых 12 членов арифметической прогрессии. Формула суммы \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Сначала найдём число мест в последнем, 12-м ряду \( a_{12} \) по формуле \( a_n = a_1 + (n-1)d \):

\[ a_{12} = 18 + (12-1) \cdot 2 = 18 + 11 \cdot 2 = 18 + 22 = 40 \]

Теперь найдём сумму всех мест:

\[ S_{12} = \frac{18 + 40}{2} \cdot 12 = \frac{58}{2} \cdot 12 = 29 \cdot 12 \]

\[ 29 \cdot 12 = 29 \cdot (10 + 2) = 290 + 58 = 348 \]

Ответ: 348 мест.