14. Вычислите определенный интеграл: $$ \int_{-1}^{1} \frac{(9-x^2)(x^2-16)}{(x^2-7x+12)}dx $$

Решение:

Вычислим определенный интеграл:

\[ \int_{-1}^{1} \frac{(9-x^2)(x^2-16)}{(x^2-7x+12)}dx \]

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: \( (9-x^2)(x^2-16) = (3-x)(3+x)(x-4)(x+4) \)

Знаменатель: \( x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \)

Подставим разложенные выражения в интеграл:

\[ \int_{-1}^{1} \frac{(3-x)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)}dx \]

Сократим общие множители \( (x-3) \) и \( (x-4) \). Обратите внимание, что \( (3-x) = -(x-3) \).

\[ \int_{-1}^{1} \frac{-(x-3)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)}dx \]

\[ \int_{-1}^{1} -(3+x)(x+4)dx \]

Раскроем скобки:

\[ \int_{-1}^{1} -(x^2 + 4x + 3x + 12)dx \]

\[ \int_{-1}^{1} -(x^2 + 7x + 12)dx \]

\[ \int_{-1}^{1} (-x^2 - 7x - 12)dx \]

Проинтегрируем:

\[ \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 12x \right]_{-1}^{1} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{7(1)^2}{2} - 12(1) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{7(-1)^2}{2} - 12(-1) \right) \]

\[ \left( -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 \right) - \left( -\frac{-1}{3} - \frac{7}{2} + 12 \right) \]

\[ \left( -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12 \right) \]

\[ -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 - \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 12 \]

\[ -\frac{1}{3} - \frac{1}{3} - 12 - 12 \]

\[ -\frac{2}{3} - 24 \]

\[ -\frac{2}{3} - \frac{72}{3} \]

\[ -\frac{74}{3} \]

Ответ: \( -\frac{74}{3} \).