14. Вычислите определенный интеграл: $ \int_{-1}^{1} \frac{(9-x^2)(x^2-16)}{(x^2-7x+12)} dx $

Question

$Фото задания: 14. Вычислите определенный интеграл: $ \int_{-1}^{1} \frac{(9-x^2)(x^2-16)}{(x^2-7x+12)} dx $$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатель на множители: $ x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4) $.
Разложим числитель на множители: $ 9 - x^2 = (3-x)(3+x) $ и $ x^2 - 16 = (x-4)(x+4) $.
Подставим разложения в подынтегральную функцию:
$ \frac{(9-x^2)(x^2-16)}{(x^2-7x+12)} = \frac{(3-x)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)} $.
Сократим общие множители $ (x-4) $. Также $ (3-x) = -(x-3) $, поэтому $ \frac{3-x}{x-3} = -1 $.
Подынтегральная функция упрощается до: $ -(3+x)(x+4) $
$ -(x^2 + 7x + 12) = -x^2 - 7x - 12 $.
Теперь вычислим интеграл:
$ \int_{-1}^{1} (-x^2 - 7x - 12) dx $.
Найдём первообразную: $ F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 12x $.
Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:
$ F(1) = -\frac{1^3}{3} - \frac{7(1)^2}{2} - 12(1) = -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 $
$ F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{7(-1)^2}{2} - 12(-1) = -\frac{-1}{3} - \frac{7}{2} + 12 = \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12 $
Вычтем $ F(-1) $ из $ F(1) $:
$ F(1) - F(-1) = \left( -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12 \right) $
$ = -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 - \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 12 $
$ = -\frac{2}{3} - 24 = -\frac{2}{3} - \frac{72}{3} = -\frac{74}{3} $

Ответ: $ -\frac{74}{3} $.

14. Вычислите определенный интеграл: \( \int_{-1}^{1} \frac{(9-x^2)(x^2-16)}{(x^2-7x+12)} dx \)