9. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел \( z_1=3-4i, z_2 = -5 + 7i \)

Решение:

1. Сумма: \( z_1 + z_2 = (3 - 4i) + (-5 + 7i) = (3 - 5) + (-4 + 7)i = -2 + 3i \).
2. Разность: \( z_1 - z_2 = (3 - 4i) - (-5 + 7i) = 3 - 4i + 5 - 7i = (3 + 5) + (-4 - 7)i = 8 - 11i \).
3. Произведение: \( z_1 \cdot z_2 = (3 - 4i)(-5 + 7i) = 3(-5) + 3(7i) - 4i(-5) - 4i(7i) = -15 + 21i + 20i - 28i^2 \). Так как \( i^2 = -1 \), то \( -28i^2 = -28(-1) = 28 \). \( z_1 \cdot z_2 = -15 + 41i + 28 = 13 + 41i \).
4. Частное: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 - 4i}{-5 + 7i} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число \( -5 - 7i \): \( \frac{3 - 4i}{-5 + 7i} \cdot \frac{-5 - 7i}{-5 - 7i} = \frac{(3)(-5) + (3)(-7i) + (-4i)(-5) + (-4i)(-7i)}{(-5)^2 + (7)^2} = \frac{-15 - 21i + 20i + 28i^2}{25 + 49} = \frac{-15 - i - 28}{74} = \frac{-43 - i}{74} = -\frac{43}{74} - \frac{1}{74}i \).

Ответ: Сумма: \( -2 + 3i \); Разность: \( 8 - 11i \); Произведение: \( 13 + 41i \); Частное: \( -\frac{43}{74} - \frac{1}{74}i \).