140. Преобразуйте выражение в многочлен с помощью формул сокращенного умножения. a) (x + 3)(x² - 3x + 9); б) (2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²); в) (x + 1)(x² - x + 1); г) (7y² - 1)(49y⁴ + 7y² + 1).

Решение:

1. a) Используем формулу суммы кубов \((a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\). Здесь \(a = x\) и \(b = 3\), а \(a^2 = x^2\), \(ab = x \times 3 = 3x\), \(b^2 = 3^2 = 9\). Следовательно: \((x + 3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27\).
2. б) Используем формулу разности кубов \((a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3\). Здесь \(a = 2a\) и \(b = 3b\), а \(a^2 = (2a)^2 = 4a^2\), \(ab = 2a \times 3b = 6ab\), \(b^2 = (3b)^2 = 9b^2\). Следовательно: \((2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) = (2a)^3 - (3b)^3 = 8a^3 - 27b^3\).
3. в) Используем формулу суммы кубов \((a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\). Здесь \(a = x\) и \(b = 1\), а \(a^2 = x^2\), \(ab = x \times 1 = x\), \(b^2 = 1^2 = 1\). Следовательно: \((x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1\).
4. г) Используем формулу разности кубов \((a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3\). Здесь \(a = 7y^2\) и \(b = 1\), а \(a^2 = (7y^2)^2 = 49y^4\), \(ab = 7y^2 \times 1 = 7y^2\), \(b^2 = 1^2 = 1\). Следовательно: \((7y^2 - 1)(49y^4 + 7y^2 + 1) = (7y^2)^3 - 1^3 = 343y^6 - 1\).

Ответ: а) $$x^3 + 27$$; б) $$8a^3 - 27b^3$$; в) $$x^3 + 1$$; г) $$343y^6 - 1$$