148. Выясните, возрастает или убывает функция на указанном промежутке: 1) $y=\frac{1}{(x-3)^2},\ x>3$; 2) $y=\frac{1}{(x-2)^3},\ x<2$; 3) $y=\sqrt[3]{x+1},\ x\ge 0$; 4) $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x+1}},\ x<-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 148. Выясните, возрастает или убывает функция на указанном промежутке: 1) $y=\frac{1}{(x-3)^2},\ x>3$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

При $x>3$ величина $x-3$ возрастает и положительна, поэтому $(x-3)^2$ возрастает. Обратная величина убывает: функция убывает на $(3;+\infty)$.
При $x<2$ величина $x-2<0$. Функция $t\mapsto t^3$ возрастает, а переход к обратной величине на отрицательных числах меняет направление монотонности: например, при росте $x$ знаменатель $(x-2)^3$ растёт от более отрицательных значений к нулю, и дробь убывает. Значит, функция убывает на $(−\infty;2)$.
Функция $x+1$ возрастает, и извлечение кубического корня сохраняет порядок. Функция возрастает на $[0;+\infty)$.
При $x<-1$ число $x+1<0$, а $\sqrt[3]{x+1}$ возрастает и остаётся отрицательным. Величина $1/t$ при отрицательных $t$ убывает с ростом $t$. Поэтому функция возрастает на $(−\infty;−1)$.

Ответ: 1) убывает; 2) убывает; 3) возрастает; 4) возрастает.

148. Выясните, возрастает или убывает функция на указанном промежутке: 1) \(y=\frac{1}{(x-3)^2},\ x>3\); 2) \(y=\frac{1}{(x-2)^3},\ x<2\); 3) \(y=\sqrt[3]{x+1},\ x\ge 0\); 4) \(y=\frac{1}{\sqrt[3]{x+1}},\ x<-1\).