15. (1 балл). Найдите корень уравнения: 9ˣ - 3ˣ⁺¹ = 54

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

\[ (3^2)^x - 3^x · 3^1 = 54 \]\[ (3^x)^2 - 3 · 3^x = 54 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y - 54 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 \]\[ \sqrt{D} = 15 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{3 + 15}{2} = 9 \]\[ y_2 = \frac{3 - 15}{2} = -6 \]

Теперь вернемся к замене \( y = 3^x \):

1. \( 3^x = 9 \) → \( 3^x = 3^2 \) → \( x = 2 \)


2. \( 3^x = -6 \) — это уравнение не имеет решений, так как степень числа с положительным основанием всегда положительна.

Ответ: 2.