22. (3 балла). Найдите решение уравнения: \( \frac{6\sin^2 x - 5\cos x - 5}{\sqrt{\sin x}} = 0 \)

Решение:

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель был не равен нулю и подкоренное выражение было положительным.

1. Знаменатель не равен нулю: \( \sqrt{\sin x}
e 0 \) → \( \sin x
e 0 \).

2. Подкоренное выражение положительно: \( \sin x > 0 \).

3. Числитель равен нулю: \( 6\sin^2 x - 5\cos x - 5 = 0 \).

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \):

\[ 6(1 - \cos^2 x) - 5\cos x - 5 = 0 \]\[ 6 - 6\cos^2 x - 5\cos x - 5 = 0 \]\[ -6\cos^2 x - 5\cos x + 1 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 6\cos^2 x + 5\cos x - 1 = 0 \]

Пусть \( z = \cos x \). Тогда:

\[ 6z^2 + 5z - 1 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 \]

Найдем \( z \):

\[ z_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]\[ z_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1 \]

Теперь вернемся к \( \cos x \):

1. \( \cos x = \frac{1}{6} \)


2. \( \cos x = -1 \)

Из условия \( \sin x > 0 \), мы знаем, что \( x \) находится в первой или второй четверти. В этих четвертях \( \cos x \) может быть как положительным, так и отрицательным.

Если \( \cos x = -1 \), то \( x = \pi + 2\pi n \). В этом случае \( \sin x = \sin(\pi) = 0 \), что противоречит условию \( \sin x > 0 \). Поэтому \( \cos x = -1 \) не является решением.

Рассмотрим \( \cos x = \frac{1}{6} \). В этом случае \( x \) может быть в первой или четвертой четверти. Так как нам нужно \( \sin x > 0 \), то \( x \) должен быть в первой четверти.

\( x = \arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k \) (первая четверть, \( \sin x > 0 \))

\( x = -\arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k \) (четвертая четверть, \( \sin x < 0 \) — не подходит)

Следовательно, подходящие решения: \( x = \arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).