19. (3 балла) Найдите промежутки возрастания функции y=√x² - 25

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно найти производную функции и определить, где она положительна.

Функция: \( y = \sqrt{x^2 - 25} \).

Найдем производную функции:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 25}} · (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 25}} \]

Функция возрастает, когда \( y' > 0 \).

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2 - 25}} > 0 \]

Так как знаменатель \( \sqrt{x^2 - 25} \) всегда положителен (при условии \( x^2 - 25 > 0 \)), то знак дроби определяется знаком числителя \( x \).

Следовательно, \( x > 0 \).

Учитывая область определения функции \( x^2 - 25 \ge 0 \), то есть \( x \le -5 \) или \( x \ge 5 \), и условие \( x > 0 \), получаем:

\[ x \ge 5 \]

Ответ: \( [5; +\infty) \).