21. (3 балла). Решите систему уравнений: { 2^y = 200 · 5^y y + x = 1 }

Решение:

Рассмотрим первое уравнение системы:

\[ 2^y = 200 · 5^y \]

Разделим обе части на \( 5^y \):

\[ \frac{2^y}{5^y} = 200 \]\[ (\frac{2}{5})^y = 200 \]

Прологарифмируем обе части по основанию \( \frac{2}{5} \) или по любому другому удобному основанию (например, натуральному логарифму):

\[ y = \log_{\frac{2}{5}}(200) \]

Можно также записать через натуральный логарифм:

\[ y = \frac{\ln(200)}{\ln(\frac{2}{5})} = \frac{\ln(200)}{\ln(2) - \ln(5)} \]

Теперь найдем \( x \) из второго уравнения системы, подставив значение \( y \):

\[ x = 1 - y \]\[ x = 1 - \log_{\frac{2}{5}}(200) \]

Или, используя логарифм по натуральному основанию:

\[ x = 1 - \frac{\ln(200)}{\ln(2) - \ln(5)} \]

Ответ: \( x = 1 - \frac{\ln(200)}{\ln(2) - \ln(5)}, y = \frac{\ln(200)}{\ln(2) - \ln(5)} \).