15.(1 балл) Решите уравнение cos²x + sin x = −sin²x

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), откуда \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

1. Подставим замену в исходное уравнение: \( (1 - \sin^2 x) + \sin x = -\sin^2 x \)
2. Раскроем скобки: \( 1 - \sin^2 x + \sin x = -\sin^2 x \)
3. Перенесём все члены в левую часть: \( 1 - \sin^2 x + \sin x + \sin^2 x = 0 \)
4. Члены \( -\sin^2 x \) и \( +\sin^2 x \) взаимно уничтожаются: \( 1 + \sin x = 0 \)
5. Выразим \( \sin x \): \( \sin x = -1 \)
6. Найдём значения \( x \) из данного уравнения. Аргумент, синус которого равен \( -1 \), соответствует \( \frac{3\pi}{2} \) плюс полные обороты.
7. \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).