16.(3 балла) Прямоугольный треугольник с катетами с катетами 2 см и 4 см в первый р большого катета, а во второй – вокруг меньшего. Определите полученные геометричес площади их боковых поверхностей.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S = \pi Rl \), где \( R \) — радиус основания, а \( l \) — образующая конуса.

Случай 1: Вращение вокруг большего катета (4 см).

1. В этом случае больший катет является высотой конуса \( h = 4 \) см, а меньший катет — радиусом основания \( R = 2 \) см.
2. Образующая \( l \) будет гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора: \( l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) см.
3. Площадь боковой поверхности конуса: \( S_1 = \pi Rl = \pi \cdot 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\pi\sqrt{5} \) см².

Случай 2: Вращение вокруг меньшего катета (2 см).

1. В этом случае меньший катет является высотой конуса \( h = 2 \) см, а больший катет — радиусом основания \( R = 4 \) см.
2. Образующая \( l \) также будет гипотенузой: \( l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) см. (Образующая остается той же, так как стороны треугольника те же).
3. Площадь боковой поверхности конуса: \( S_2 = \pi Rl = \pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\pi\sqrt{5} \) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности первого конуса (вращение вокруг большего катета) составляет \( 4\pi\sqrt{5} \) см², а второго (вращение вокруг меньшего катета) — \( 8\pi\sqrt{5} \) см².