17.(3 балла) Найдите промежутки убывания функции у = x³ - 3x² - 45x + 225.

Решение:

Чтобы найти промежутки убывания функции, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю, найти критические точки и исследовать знак производной на интервалах.

1. Найдем производную функции \( y \): \( y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 45x + 225) \)
2. \( y' = 3x^2 - 6x - 45 \)
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 6x - 45 = 0 \)
4. Разделим всё уравнение на 3: \( x^2 - 2x - 15 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета (сумма корней равна 2, произведение равно -15) или дискриминант. Корни: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -3 \).
6. Отметим критические точки на числовой оси: \( -3 \) и \( 5 \). Эти точки делят ось на три интервала: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 5) \), \( (5; +\infty) \).
7. Исследуем знак производной \( y' = 3x^2 - 6x - 45 \) на каждом интервале:
• Интервал \( (-\infty; -3) \): Возьмём, например, \( x = -4 \). \( y'(-4) = 3(-4)^2 - 6(-4) - 45 = 3(16) + 24 - 45 = 48 + 24 - 45 = 27 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.
• Интервал \( (-3; 5) \): Возьмём, например, \( x = 0 \). \( y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 45 = -45 < 0 \). На этом интервале функция убывает.
• Интервал \( (5; +\infty) \): Возьмём, например, \( x = 6 \). \( y'(6) = 3(6)^2 - 6(6) - 45 = 3(36) - 36 - 45 = 108 - 36 - 45 = 27 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.
8. Функция убывает там, где её производная отрицательна.

Ответ: Функция убывает на интервале \( (-3; 5) \).