15. (3 балла) Решите уравнение \(\sqrt{x^2-14x}=2\)

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{x^2-14x})^2 = 2^2 \]

\[ x^2 - 14x = 4 \]

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 14x - 4 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(-4) = 196 + 16 = 212 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{212}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{4 \cdot 53}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{53}}{2} = 7 \pm \sqrt{53} \]

Проверим, являются ли корни решениями исходного уравнения. Так как \( x^2 - 14x \) должно быть неотрицательным, и \( 2 \) - положительное число, то оба корня подходят.

Ответ: \( x_1 = 7 + \sqrt{53}, x_2 = 7 - \sqrt{53} \).