17. (3 балла) Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку М: f(x)=x²+2, если М(2;15)

Решение:

Найдем первообразную для функции \( f(x) = x^2 + 2 \).

Первообразная \( F(x) \) находится интегрированием:

\[ F(x) = \int (x^2 + 2) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная.

График первообразной проходит через точку \( M(2; 15) \). Это значит, что при \( x=2 \) значение \( F(x) = 15 \).

Подставим координаты точки \( M \) в уравнение первообразной:

\[ 15 = \frac{2^3}{3} + 2(2) + C \]

\[ 15 = \frac{8}{3} + 4 + C \]

Выразим \( C \):

\[ C = 15 - 4 - \frac{8}{3} = 11 - \frac{8}{3} = \frac{33 - 8}{3} = \frac{25}{3} \]

Таким образом, искомая первообразная:

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{25}{3} \]

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{25}{3} \).