16. (3 балла) Решите уравнение. cos²x + sinx•cosx = 1

Решение:

Перепишем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \).

\( \cos^2x + \sin x \cos x = \sin^2x + \cos^2x \)

Вычтем \( \cos^2x \) из обеих частей:

\[ \sin x \cos x = \sin^2x \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ \sin^2x - \sin x \cos x = 0 \]

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (\sin x - \cos x) = 0 \]

Это равенство выполняется, если:

1) \( \sin x = 0 \) \(\implies\) \( x = \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

2) \( \sin x - \cos x = 0 \) \(\implies\) \( \sin x = \cos x \).

Разделим обе части на \( \cos x \) (при условии \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и \( \sin x = \cos x \) не выполняется).

\[ \text{tg } x = 1 \]

\[ x = \(\frac{\pi}{4}\) + \(\pi\) k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pi n \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \) — целые числа.