15.67. Сократите дробь: а) (√(a³) + √(b³))/(√a + √b); б) (x√x − 8)/(√x − 2); в) (√(c³) − √(d³))/(c + √(cd) + d); г) (27 + a√a)/(3 + √a).

а) Положим u = √a и v = √b. Тогда дробь имеет вид (u³ + v³)/(u + v). По формуле суммы кубов u³ + v³ = (u + v)(u² − uv + v²). После сокращения получаем a − √(ab) + b.

б) Положим u = √x. Тогда (x√x − 8)/(√x − 2) = (u³ − 2³)/(u − 2). По формуле разности кубов получаем u² + 2u + 4 = x + 2√x + 4.

в) Положим u = √c и v = √d. Дробь принимает вид (u³ − v³)/(u² + uv + v²). По формуле разности кубов после сокращения получаем u − v = √c − √d.

г) Положим u = √a. Тогда (27 + a√a)/(3 + √a) = (3³ + u³)/(3 + u). По формуле суммы кубов результат равен 9 − 3√a + a.