15 Диагональ прямоугольника образует угол 17° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Угол между диагональю AC и стороной AB равен 17°, то есть $$\\angle BAC = 17^{\circ}$$.

1. Углы в прямоугольнике:
• Так как ABCD — прямоугольник, то $$\\angle ABC = 90^{\circ}$$.
• В прямоугольном треугольнике ABC, сумма углов равна 180°, поэтому $$\\angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 17^{\circ} = 73^{\circ}$$.
2. Свойства диагоналей прямоугольника:
• Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = BO = CO = DO.
• Треугольники AOB и COD — равнобедренные (AO = BO), треугольники BOC и AOD — равнобедренные (BO = CO).
3. Углы между диагоналями:
• В равнобедренном треугольнике AOB, $$\\angle BAO = \angle ABO = 17^{\circ}$$.
• Угол $$\\angle AOB$$ — угол между диагоналями. Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°, поэтому $$\\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle BAO + \angle ABO) = 180^{\circ} - (17^{\circ} + 17^{\circ}) = 180^{\circ} - 34^{\circ} = 146^{\circ}$$.
• Угол $$\\angle BOC$$ является смежным с углом $$\\angle AOB$$, поэтому $$\\angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 146^{\circ} = 34^{\circ}$$.
• Угол $$\\angle BOC = 34^{\circ}$$ является острым углом между диагоналями.

Ответ: 34