15. Найдите значение выражения $$ \frac{x^3 y - xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2 - y^2} $$ при $$x = 4$$ и $$y = \frac{1}{4}$$.

Краткое пояснение:

Для нахождения значения выражения, необходимо сначала преобразовать его, используя формулы сокращенного умножения, а затем подставить заданные значения переменных.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем первую дробь. Вынесем общий множитель $$xy$$ из числителя и учтем, что $$y-x = -(x-y)$$.

$$ \frac{xy(x^2 - y^2)}{2(-(x-y))} = -\frac{xy(x-y)(x+y)}{2(x-y)} = -\frac{xy(x+y)}{2} $$

2. Шаг 2: Преобразуем вторую дробь. Знаменатель $$x^2 - y^2$$ представим как разность квадратов.

$$ \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{3}{x+y} $$

3. Шаг 3: Перемножим преобразованные выражения.

$$ \left( -\frac{xy(x+y)}{2} \right) \cdot \left( \frac{3}{x+y} \right) $$

4. Шаг 4: Сократим множитель $$(x+y)$$.

$$ -\frac{3xy}{2} $$

5. Шаг 5: Подставим значения $$x = 4$$ и $$y = \frac{1}{4}$$.

$$ -\frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2} = -\frac{3 \cdot 1}{2} = -\frac{3}{2} $$

Ответ: $$ -\frac{3}{2} $$