15. Расстояние от пристани А до пристани Б по течению реки катер прошёл за 6 часов, а на обратный путь он затратил на 1 час больше. Найдите скорость катера в неподвижной воде (собственную скорость), если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Пусть:

• \( v_к \) — собственная скорость катера (км/ч),
• \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч),
• \( S \) — расстояние между пристанями А и Б (км).

Из условия задачи известно:

• \( v_т = 2 \) км/ч.
• Время движения по течению: \( t_{по} = 6 \) часов.
• Время движения против течения: \( t_{против} = 6 + 1 = 7 \) часов.

1. Скорость катера по течению:

Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения:

\[ v_{по} = v_к + v_т \]

2. Скорость катера против течения:

Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения:

\[ v_{против} = v_к - v_т \]

3. Расстояние, пройденное катером:

Расстояние можно выразить через скорость и время:

\[ S = v_{по} ∙ t_{по} = (v_к + v_т) ∙ t_{по} \]

\[ S = v_{против} ∙ t_{против} = (v_к - v_т) ∙ t_{против} \]

4. Составление и решение уравнения:

Приравняем выражения для расстояния:

\[ (v_к + v_т) ∙ t_{по} = (v_к - v_т) ∙ t_{против} \]

Подставим известные значения \( v_т \), \( t_{по} \) и \( t_{против} \):

\[ (v_к + 2) ∙ 6 = (v_к - 2) ∙ 7 \]

Раскроем скобки:

\[ 6v_к + 12 = 7v_к - 14 \]

Перенесем члены с \( v_к \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 12 + 14 = 7v_к - 6v_к \] \[ 26 = v_к \]

5. Проверка:

• Собственная скорость катера \( v_к = 26 \) км/ч.
• Скорость по течению: \( 26 + 2 = 28 \) км/ч.
• Расстояние по течению: \( 28 ∙ 6 = 168 \) км.
• Скорость против течения: \( 26 - 2 = 24 \) км/ч.
• Время против течения: \( 168 / 24 = 7 \) часов.
• Разница во времени: \( 7 - 6 = 1 \) час, что соответствует условию задачи.

Ответ: 26 км/ч