16. В треугольнике ABC угол ACB равен 53°, AD — биссектриса, угол CAD равен 24°. Найдите угол ADB.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами углов треугольника и биссектрисы.

1. Анализ данных:

• В треугольнике ABC: \( ∠ACB = 53^° \).
• AD — биссектриса угла A.
• \( ∠CAD = 24^° \).
• Нужно найти \( ∠ADB \).

2. Нахождение угла BAC:

• Так как AD — биссектриса угла A, то она делит угол A на два равных угла: \( ∠CAD = ∠DAB \).
• По условию \( ∠CAD = 24^° \), следовательно, \( ∠DAB = 24^° \).
• Угол BAC равен сумме этих двух углов: \( ∠BAC = ∠CAD + ∠DAB = 24^° + 24^° = 48^° \).

3. Нахождение угла ABC:

• Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.
• \( ∠ABC = 180^° - ∠BAC - ∠ACB \)
• \( ∠ABC = 180^° - 48^° - 53^° \)
• \( ∠ABC = 180^° - 101^° = 79^° \).

4. Нахождение угла ADB:

• Рассмотрим треугольник ADB. Угол ADB является внешним углом треугольника ADC.
• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• \( ∠ADB = ∠DAC + ∠ACD \)
• \( ∠ADB = 24^° + 53^° = 77^° \).

Альтернативный способ (через треугольник ABD):

• В треугольнике ABD:
• \( ∠DAB = 24^° \) (из п. 2)
• \( ∠ABD = 79^° \) (из п. 3)
• Сумма углов в треугольнике ABD равна 180°.
• \( ∠ADB = 180^° - ∠DAB - ∠ABD \)
• \( ∠ADB = 180^° - 24^° - 79^° \)
• \( ∠ADB = 180^° - 103^° = 77^° \).

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 77°