15. Сторона равностороннего треугольника равна $$16\sqrt{3}$$. Найдите высоту.

Решение:

В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных высотой. Его гипотенуза равна стороне треугольника \( 16\sqrt{3} \), один катет равен половине основания \( \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \), а второй катет — это высота \( h \).

По теореме Пифагора:

\[ h^2 + (8\sqrt{3})^2 = (16\sqrt{3})^2 \]

\[ h^2 + (64 \times 3) = (256 \times 3) \]

\[ h^2 + 192 = 768 \]

\[ h^2 = 768 - 192 \]

\[ h^2 = 576 \]

\[ h = \sqrt{576} = 24 \]

Ответ: 24.