15. Тип 10 № 7394 Площадь параллелограмма ABCD равна 56. Точка Е — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции AECB.

Краткая запись:

• Параллелограмм ABCD
• \(S_{ABCD} = 56\)
• E — середина CD
• Найти: \(S_{AECB}\) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим высоту параллелограмма, опущенную из вершины A на основание CD, как 'h'.
2. Шаг 2: Площадь параллелограмма \(S_{ABCD} = CD \cdot h = 56\).
3. Шаг 3: Так как E — середина CD, то \(CE = ED = \frac{1}{2} CD \).
4. Шаг 4: Площадь \(\triangle ADE = \frac{1}{2} · ED · h = \frac{1}{2} · (\frac{1}{2} CD) · h = \frac{1}{4} (CD · h) = \frac{1}{4} S_{ABCD} \).
   \(S_{ADE} = \frac{1}{4} · 56 = 14\).
5. Шаг 5: Площадь \(\triangle BCE = \frac{1}{2} · CE · h = \frac{1}{2} · (\frac{1}{2} CD) · h = \frac{1}{4} (CD · h) = \frac{1}{4} S_{ABCD} \).
   \(S_{BCE} = \frac{1}{4} · 56 = 14\).
6. Шаг 6: Площадь трапеции AECB равна площади параллелограмма минус площадь \(\triangle ADE \).
   \(S_{AECB} = S_{ABCD} - S_{ADE} = 56 - 14 = 42\).
7. Шаг 7: Альтернативный способ: площадь трапеции AECB = площадь \(\triangle AEC + \text{площадь } \triangle ACB\).
   \(\triangle ACB\) имеет основание AB и высоту, равную высоте параллелограмма (h). \(S_{ACB} = \frac{1}{2} AB · h = \frac{1}{2} CD · h = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} · 56 = 28\).
   \(\triangle AEC\) имеет основание CE = \(\frac{1}{2} CD\) и высоту h. \(S_{AEC} = \frac{1}{2} CE · h = \frac{1}{2} · (\frac{1}{2} CD) · h = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} · 56 = 14\).
   \(S_{AECB} = S_{AEC} + S_{ACB} = 14 + 28 = 42\).

Ответ: 42