15. Тип 19 № 323344 Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты. Из условия известно, что \( S = 32\sqrt{3} \) и один из острых углов равен \( 30^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \tan A = \frac{a}{b} \). Следовательно, \( \tan 30^{\circ} = \frac{a}{b} \), откуда \( b = \frac{a}{\tan 30^{\circ}} = \frac{a}{1/\sqrt{3}} = a\sqrt{3} \).

Подставим это в формулу площади: \( S = \frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \).

По условию \( S = 32\sqrt{3} \), поэтому \( \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \). Умножим обе части на 2 и разделим на \( \sqrt{3} \): \( a^2 = 64 \). Отсюда \( a = 8 \) (так как длина катета не может быть отрицательной).

Теперь найдём второй катет: \( b = a\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \).

Гипотенузу \( c \) найдём по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \).

\( c^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 = 64 + 64 \cdot 3 = 64 + 192 = 256 \).

\( c = \sqrt{256} = 16 \).

Другой способ найти гипотенузу: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \( \sin A = \frac{a}{c} \).

\( \sin 30^{\circ} = \frac{a}{c} \) \(\, \Rightarrow \,\) \( \frac{1}{2} = \frac{8}{c} \) \(\, \Rightarrow \,\) \( c = 8 \cdot 2 = 16 \).

Ответ: 16.