20. Тип Д25 С1 № 311255 Упростите выражение $$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{10}+2}}{\sqrt{24}}$$

Решение:

Упростим выражение под корнем в числителе: \( 10 - 2\sqrt{10} + 2 \). Обратим внимание, что \( 10 = 5+5 \) и \( 2 = 1+1 \). Если бы было \( 10 - 2\sqrt{10} + 1 \), то это было бы \( (\sqrt{10}-1)^2 \).

Перепишем числитель: \( 10 + 2 - 2\sqrt{10} = 12 - 2\sqrt{10} \).

Теперь рассмотрим выражение \( \sqrt{12 - 2\sqrt{10}} \). Для упрощения нужно найти два числа \( a \) и \( b \) такие, что \( a+b=12 \) и \( a \cdot b = 10 \). Это числа 10 и 2.

Тогда \( \sqrt{12 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{10} - \sqrt{2} \).

Теперь упростим знаменатель: \( \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \).

Итак, выражение принимает вид: \( \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2\sqrt{6}} \).

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{6} \) для избавления от иррациональности в знаменателе:

\( \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{60} - \sqrt{12}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{4 \cdot 15} - \sqrt{4 \cdot 3}}{12} = \frac{2\sqrt{15} - 2\sqrt{3}}{12} \).

Вынесем 2 из числителя и сократим:

\( \frac{2(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{12} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{6} \).

Ответ: $$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{6}$$.