17. Тип Д11 № 169881 Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 4√2, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть дана трапеция \( ABCD \), где \( BC \) и \( AD \) — основания, \( AB \) — боковая сторона. По условию \( BC = 12 \), \( AD = 18 \), \( AB = 4\sqrt{2} \), и угол между боковой стороной и основанием равен \( 135^{\circ} \). Пусть \( \angle DAB = 135^{\circ} \).

Высота трапеции \( h \) — это перпендикуляр, опущенный из вершины \( B \) на основание \( AD \) (или из \( C \) на \( AD \)).

Опустим высоту \( BH \) из вершины \( B \) на основание \( AD \). Образуется прямоугольный треугольник \( ABH \).

Угол \( \angle BAH \) смежный с \( \angle DAB \), поэтому \( \angle BAH = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( ABH \) имеем: \( \sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB} \).

\( \sin 45^{\circ} = \frac{h}{4\sqrt{2}} \)

\( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{4\sqrt{2}} \)

\( h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4 \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

\( S = \frac{18+12}{2} \cdot 4 = \frac{30}{2} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60 \).

Ответ: 60.