21. Тип 21 № 311564 Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v_y \) — скорость яхты в неподвижной воде, \( v_t = 2 \) км/ч — скорость течения реки.

Скорость плота по течению равна \( v_p = v_t = 2 \) км/ч.

Плот прошел 22 км за время \( t_p \). \( t_p = \frac{22 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 11 \) часов.

Яхта отправилась на 2 часа позже плота. Значит, время движения яхты \( t_y \) равно \( t_p - 2 = 11 - 2 = 9 \) часов.

Скорость яхты по течению (из А в В) равна \( v_y + v_t = v_y + 2 \) км/ч.

Скорость яхты против течения (из В в А) равна \( v_y - v_t = v_y - 2 \) км/ч.

Расстояние от А до В равно 80 км.

Время движения яхты из А в В: \( t_{AB} = \frac{80}{v_y + 2} \).

Время движения яхты из В в А: \( t_{BA} = \frac{80}{v_y - 2} \).

Общее время движения яхты: \( t_y = t_{AB} + t_{BA} \).

\( 9 = \frac{80}{v_y + 2} + \frac{80}{v_y - 2} \).

Разделим обе части уравнения на 80:

\( \frac{9}{80} = \frac{1}{v_y + 2} + \frac{1}{v_y - 2} \).

Приведем правую часть к общему знаменателю:

\( \frac{9}{80} = \frac{(v_y - 2) + (v_y + 2)}{(v_y + 2)(v_y - 2)} \)

\( \frac{9}{80} = \frac{2v_y}{v_y^2 - 4} \).

Решим пропорцию:

\( 9(v_y^2 - 4) = 80 \cdot 2v_y \)

\( 9v_y^2 - 36 = 160v_y \)

\( 9v_y^2 - 160v_y - 36 = 0 \).

Решим квадратное уравнение относительно \( v_y \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164 \).

\( v_{y1} = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18 \).

\( v_{y2} = \frac{160 - 164}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9} \).

Скорость яхты не может быть отрицательной, поэтому \( v_y = 18 \) км/ч.

Ответ: 18.