15. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и \(\angle ACD=21^\circ\). Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим \(AB=CD=a\), тогда \(AC=2a\). В треугольнике ACD известны две стороны и угол между ними.

Положим направление AC за горизонтальное. Проекция CD на AC равна \(-a\cos21^\circ\), а перпендикулярная составляющая по модулю равна \(a\sin21^\circ\). Так как ABCD — параллелограмм, вектор диагонали BD равен \(2\overrightarrow{CD}\). Поэтому направление BD образует с AC угол, тангенс которого равен \(\frac{\sin21^\circ}{1-\cos21^\circ}=\cot10.5^\circ\).

Следовательно, угол между диагоналями равен \(90^\circ-10.5^\circ=79.5^\circ\).

Ответ: 79,5°.