15. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса BD. На стороне AB взята точка M, на стороне BC — точка K так, что AM = CK. Докажите, что треугольник BMK равнобедренный, и найдите его периметр, если AB = 10 см, AC = 12 см, а AM = 3 см.

1. Так как ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC = 10 см.
2. BM = AB − AM = 10 − 3 = 7 см; BK = BC − CK = 10 − 3 = 7 см. Значит, BM = BK, поэтому треугольник BMK равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса BD является также медианой, поэтому D — середина AC. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол при B, а BM/BA = BK/BC = 7/10. Следовательно, MK/AC = 7/10, откуда MK = 12 · 7/10 = 8,4 см.
4. Периметр BMK равен 7 + 7 + 8,4 = 22,4 см.

Ответ: BMK равнобедренный; его периметр — 22,4 см.