15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 51° и BM = AM = MC.

Решение:

1. Анализ условия:

   BM — медиана, значит, M — середина стороны AC. По условию, BM = AM = MC. Это означает, что точка M равноудалена от вершин A, B и C.

2. Свойство равноудаленной точки:

   Точка, равноудаленная от вершин треугольника, является центром описанной окружности. В данном случае, M — центр описанной окружности, а BM, AM, MC — ее радиусы.

3. Следствие из условия:

   Поскольку BM = AM, треугольник ABM является равнобедренным. Следовательно, ∠MBA = ∠MAB = ∠A.

   Поскольку BM = MC, треугольник BMC является равнобедренным. Следовательно, ∠MBC = ∠MCB = ∠C = 51°.

4. Вычисление угла A:

   Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.

   ∠A + ∠B + ∠C = 180°

   ∠A + (∠MBA + ∠MBC) + ∠C = 180°

   ∠A + (∠A + 51°) + 51° = 180°

   2∠A + 102° = 180°

   2∠A = 180° - 102°

   2∠A = 78°

   ∠A = 78° / 2 = 39°.

Ответ: 39°