15. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=59° и ВМ=АМ=МС.

Решение:

1. По условию, ВМ — медиана, значит, она делит сторону АС на два равных отрезка: \( AM = MC \).

2. Также по условию \( BM = AM = MC \). Это означает, что точка М является центром описанной окружности для треугольника АВС, а отрезки ВМ, АМ, МС — радиусы этой окружности.

3. Рассмотрим треугольник ВМС. Так как \( BM = MC \), он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle MBC = \angle C = 59^{\circ} \).

4. Сумма углов в треугольнике ВМС равна 180°: \( \angle BMC = 180^{\circ} - (59^{\circ} + 59^{\circ}) = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ} \).

5. Углы \( \angle BMC \) и \( \angle BMA \) — смежные, их сумма равна 180°. Поэтому \( \angle BMA = 180^{\circ} - \angle BMC = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ} \).

6. Рассмотрим треугольник ВМА. Так как \( BM = AM \), он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BAM = \angle ABM \).

7. Сумма углов в треугольнике ВМА равна 180°: \( \angle BAM + \angle ABM + \angle BMA = 180^{\circ} \). \( \angle BAM + \angle BAM + 118^{\circ} = 180^{\circ} \). \( 2 \angle BAM = 180^{\circ} - 118^{\circ} \). \( 2 \angle BAM = 62^{\circ} \). \( \angle BAM = 31^{\circ} \).

8. Угол А треугольника АВС равен \( \angle BAM \).

Ответ: 31°