16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 35/37. Диаметр описанной около него окружности равен 37. Найдите площадь прямоугольника.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \), а диагональ — как \( d \). Диаметр описанной окружности равен диагонали, то есть \( d = 37 \).
2. Шаг 2: Синус угла между стороной и диагональю равен \( \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \). Пусть угол между стороной \( b \) и диагональю \( d \) равен \( α \). Тогда \( α \) — угол между \( d \) и \( a \), а \( 90° - α \) — угол между \( d \) и \( b \).
3. Шаг 3: По условию, синус угла между стороной и диагональю равен \( \frac{35}{37} \). Это может быть либо \( α \), либо \( 90° - α \).
4. Шаг 4: Случай 1: \( α \) — угол между диагональю и стороной \( a \). Тогда \( сіи \(α\) = \(\frac{b}{d}\) = \(\frac{35}{37}\) \). \( b = d · \frac{35}{37} = 37 · \frac{35}{37} = 35 \).
5. Шаг 5: По теореме Пифагора: \( a^{2} + b^{2} = d^{2} \). \( a^{2} + 35^{2} = 37^{2} \) \( a^{2} + 1225 = 1369 \) \( a^{2} = 1369 - 1225 = 144 \) \( a = 12 \).
6. Шаг 6: Площадь прямоугольника: \( S = a · b = 12 · 35 = 420 \).
7. Шаг 7: Случай 2: \( 90° - α \) — угол между диагональю и стороной \( a \). Тогда \( сіи(90° - α) = соѕ \(α\) = \(\frac{a}{d}\) = \(\frac{35}{37}\) \). \( a = 37 · \frac{35}{37} = 35 \).
8. Шаг 8: \( b^{2} + a^{2} = d^{2} \). \( b^{2} + 35^{2} = 37^{2} \) \( b^{2} = 144 \) \( b = 12 \).
9. Шаг 9: Площадь прямоугольника: \( S = a · b = 35 · 12 = 420 \).

Ответ: 420