16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 35/37. Диаметр описанной около него окружности равен 37. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали. Следовательно, диагональ прямоугольника \( d = 37 \).

Пусть \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника, а \( \alpha \) — угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \). По условию, \( \sin \alpha = \frac{35}{37} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами \( a \), \( b \) и диагональю \( d \), синус угла \( \alpha \) определяется как отношение противолежащего катета (стороны \( b \)) к гипотенузе (диагонали \( d \)).

\( \sin \alpha = \frac{b}{d} \)

\( \frac{35}{37} = \frac{b}{37} \)

Отсюда находим сторону \( b \): \( b = 35 \).

Теперь найдем сторону \( a \), используя теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \).

\( a^2 + 35^2 = 37^2 \)

\( a^2 + 1225 = 1369 \)

\( a^2 = 1369 - 1225 \)

\( a^2 = 144 \)

\( a = \sqrt{144} = 12 \).

Площадь прямоугольника \( S \) равна произведению его сторон:

\( S = a \cdot b \)

\( S = 12 \cdot 35 \)

\( S = 420 \)

Ответ: 420