15.15 ☆☆☆ На медиане ВМ треугольника АВС взяли точку К так, что угол АКМ равен углу МВС. Докажите, что отрезок АК равен одной из сторон треугольника (рис. 15.27).

В этой задаче нужно доказать равенство отрезков, используя подобие треугольников. Рассмотрим треугольники AKM и MBC. Из условия \(\angle AKM = \angle MBC\). Также \(\angle AMK = \angle BMC\) (вертикальные). Следовательно, \(\triangle AKM \sim \triangle MBC\) по двум углам. Отсюда следует, что \(\frac{AK}{BC} = \frac{AM}{MB}\). Так как ВМ - медиана, AM = MC. Заменим AM на MC: \(\frac{AK}{BC} = \frac{MC}{MB}\). Если MB = MC (например, треугольник равнобедренный), то AK = BC.