156. 1) √(2x − 3) = 1 + √x; 2) √(5x) + √(14 − x) = 8; 3) √(15 + x) + √(3 + x) = 8; 4) √(3 − 2x) − √(1 − x) = 1.

1. ОДЗ: \(x\ge\frac32\). Квадрат обеих частей даёт \(2x-3=1+2\sqrt{x}+x\), то есть \(x-4=2\sqrt{x}\). Левая часть должна быть неотрицательной, значит \(x\ge4\). Положив \(t=\sqrt{x}\), получаем \(t^2-2t-4=0\), откуда \(t=1+\sqrt5\). Поэтому \(x=6+2\sqrt5\). Подстановка удовлетворяет исходному уравнению.
2. По неравенству Коши—Буняковского \((\sqrt{5x}+\sqrt{14-x})^2\le(5+1)(x+14-x)=84\). Значит сумма не превосходит \(\sqrt{84}<8\); решений нет.
3. ОДЗ: \(x\ge-3\). Квадрат суммы равен \(18+2x+2\sqrt{(x+15)(x+3)}\). Приравнивая к 64, получаем \(\sqrt{(x+15)(x+3)}=23-x\), поэтому также \(x\le23\). Ещё раз возводим в квадрат: \(x^2+18x+45=(23-x)^2\), откуда \(64x=484\), \(x=\frac{121}{16}\). Подстановка проверяет равенство.
4. ОДЗ: \(x\le1\). Положим \(a=\sqrt{3-2x}\), \(b=\sqrt{1-x}\). Тогда \(a-b=1\), а \(a^2-b^2=2-x=b^2+1\). Из \((a-b)(a+b)=b^2+1\) и \(a-b=1\) следует \(a+b=b^2+1\). Вычитая первое равенство, получаем \(2b=b^2\), значит \(b=0\) или \(b=2\). Отсюда \(x=1\) или \(x=-3\); оба значения проверяются.

Ответ: 1) \(6+2\sqrt5\); 2) решений нет; 3) \(121/16\); 4) −3, 1.