Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
1) ОДЗ: \(x\geq17\). Положим \(t=\sqrt{x}\), где \(t\geq\sqrt{17}\). Тогда \(\sqrt{2t^2-34}=1+t\). После возведения в квадрат: \(2t^2-34=(1+t)^2\), то есть \(t^2-2t-35=0\). Получаем \(t=7\) или \(t=-5\); допустимо \(t=7\), поэтому \(x=49\). Проверка: обе части равны 8.
2) Для любого действительного \(x\) из ОДЗ \([0,14]\) по неравенству Коши—Буняковского: \((\sqrt{5x}+\sqrt{14-x})^2\leq(5+1)(x+14-x)=84\). Значит сумма не превосходит \(\sqrt{84}=2\sqrt{21}<8\). Равенство невозможно, решений нет.
3) Область допустимых значений: \(x\geq-3\). Положим \(t=\sqrt{x+3}\geq0\), тогда \(\sqrt{x+15}=\sqrt{t^2+12}\). Уравнение даёт \(\sqrt{t^2+12}+t=6\). Следовательно, \(\sqrt{t^2+12}=6-t\), поэтому \(0\leq t\leq6\). Возводим в квадрат: \(t^2+12=(6-t)^2\), откуда \(t=2\), а \(x=1\). Проверка: \(4+2=6\).
4) ОДЗ включает \(x\leq\frac32\), а из уравнения следует \(1-x\leq3-2x\), то есть \(x\leq2\); дополнительных ограничений нет. Положим \(a=\sqrt{3-2x}\), \(b=\sqrt{1-x}\). Тогда \(a-b=1\), а \(a^2-b^2=2-x\ne?\) По исходным подкоренным выражениям \(a^2-b^2=(3-2x)-(1-x)=2-x\). Поэтому \((a-b)(a+b)=2-x\), откуда \(a+b=2-x\). Складывая с \(a-b=1\), получаем \(a=\frac{3-x}{2}\), \(b=\frac{1-x}{2}\). Из \(b^2=1-x\): \((1-x)^2=4(1-x)\), откуда \(x=1\) или \(x=-3\). Проверка: при 1 получаем \(1-0=1\); при −3 получаем \(3-2=1\).
Ответ: 1) 49; 2) решений нет; 3) 1; 4) −3, 1.
