Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 156. Решить уравнение: 1) \(\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8\); 3) \(\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Пусть \(t=\sqrt{x}\). ОДЗ требует \(x\geq17\). Возводим в квадрат: \(2t^2-34=(1+t)^2\), откуда \((t-7)(t+5)=0\). Получаем \(t=7\), значит \(x=49\).
  2. Положим \(a=\sqrt{5x}\), \(b=\sqrt{14-x}\). Тогда \(a+b=8\), \(a^2/5+b^2=14\). Подставляем \(b=8-a\): получаем \(3a^2-40a+125=0\), откуда \(a=5\) или \(a=25/3\). Второе значение невозможно, поскольку \(b=8-a\) должно быть неотрицательным. При \(a=5\) имеем \(x=5\); проверка: \(5+3=8\).
  3. Пусть \(y=\sqrt{x+3}\geq0\). Тогда \(\sqrt{y^2+12}=6-y\), поэтому \(y\leq6\). Возводим в квадрат: \(y^2+12=(6-y)^2\), откуда \(y=2\) и \(x=1\).
  4. Пусть \(t=\sqrt{1-x}\geq0\). Тогда \(\sqrt{3-2x}=\sqrt{1+2t^2}\), и уравнение принимает вид \(\sqrt{1+2t^2}=1+t\). После возведения в квадрат получаем \(t(t-2)=0\). Значит, \(t=0\) или \(t=2\), откуда \(x=1\) или \(x=-3\); оба значения подходят.

Ответ: 1) 49; 2) 5; 3) 1; 4) −3, 1.