1561. Решите систему уравнений: а) $\begin{cases}\log_2(x^2+3x-2)-\log_2 y=1,\\3x-y=2;\end{cases}$ б) $\begin{cases}2x+y=7,\\\log_3(x^2+4x-3)-\log_3 y=1.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1561. Решите систему уравнений: а) $\begin{cases}\log_2(x^2+3x-2)-\log_2 y=1,\\3x-y=2;\end{cases}$ б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) По свойству логарифмов: $\log_2\frac{x^2+3x-2}{y}=1$, поэтому $x^2+3x-2=2y$. Из второго уравнения $y=3x-2$. Подставим:

$x^2+3x-2=2(3x-2)$, откуда $x^2-3x+2=0$, то есть $(x-1)(x-2)=0$.

При $x=1$, $y=1$; при $x=2$, $y=4$. Обе пары удовлетворяют условиям логарифмов.

б) Из первого уравнения $y=7-2x$. Разность логарифмов равна 1, значит $x^2+4x-3=3y$. Подставим:

$x^2+4x-3=3(7-2x)$, откуда $x^2+10x-24=0$, то есть $(x-2)(x+12)=0$.

При $x=2$, $y=3$; при $x=-12$, $y=31$. В обоих случаях аргументы логарифмов положительны.

Ответ: а) $(1;1), (2;4)$; б) $(2;3), (-12;31)$.

1561. Решите систему уравнений: а) \(\begin{cases}\log_2(x^2+3x-2)-\log_2 y=1,\\3x-y=2;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}2x+y=7,\\\log_3(x^2+4x-3)-\log_3 y=1.\end{cases}\)