1565. а) $x^{1+\log_3 x}=9$; б) $x^{\log_{0,5}x-2}=0,125$; в) $x^{5+\log_2 x}=\frac1{16}$; г) $x^{\log_{1/3}x-4}=27$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1565. а) $x^{1+\log_3 x}=9$; б) $x^{\log_{0,5}x-2}=0,125$; в) $x^{5+\log_2 x}=\frac1{16}$; г) $x^{\log_{1/3}x-4}=27$.$ Фото задания

1565. а) $x^{1+\log_3 x}=9$; б) $x^{\log_{0,5}x-2}=0,125$; в) $x^{5+\log_2 x}=\frac1{16}$; г) $x^{\log_{1/3}x-4}=27$.

Accepted Answer

Во всех пунктах $x>0$.

а) Обозначим $t=\log_3 x$, тогда $x=3^t$. Получаем $3^{t(1+t)}=3^2$, то есть $t^2+t-2=0$. Отсюда $t=1$ или $t=-2$, поэтому $x=3$ или $x=\frac19$.

б) Пусть $t=\log_{1/2}x$, тогда $x=(1/2)^t$, а $0,125=(1/2)^3$. Значит, $(1/2)^{t(t-2)}=(1/2)^3$, откуда $t^2-2t-3=0$. Корни $t=3,-1$, поэтому $x=\frac18$ или $x=2$.

в) Пусть $t=\log_2 x$. Тогда $2^{t(5+t)}=2^{-4}$, поэтому $t^2+5t+4=0$. Корни $t=-1,-4$, откуда $x=\frac12$ или $x=\frac1{16}$.

г) Пусть $t=\log_{1/3}x$. Тогда $(1/3)^{t(t-4)}=27=(1/3)^{-3}$, поэтому $t^2-4t+3=0$. Корни $t=1,3$, откуда $x=\frac13$ или $x=\frac1{27}$.

Ответ: а) $3, \frac19$; б) $\frac18, 2$; в) $\frac12, \frac1{16}$; г) $\frac13, \frac1{27}$.

1565. а) \(x^{1+\log_3 x}=9\); б) \(x^{\log_{0,5}x-2}=0,125\); в) \(x^{5+\log_2 x}=\frac1{16}\); г) \(x^{\log_{1/3}x-4}=27\).

Ответ: