1564. Решите уравнение: а) $x^{\log_3 x}=81$; б) $x^{\log_{0,5}x}=\frac1{16}$; в) $x^{\log_2 x}=16$; г) $x^{\log_{1/3}x}=\frac1{81}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1564. Решите уравнение: а) $x^{\log_3 x}=81$; б) $x^{\log_{0,5}x}=\frac1{16}$; в) $x^{\log_2 x}=16$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

Во всех пунктах $x>0$. Подставим логарифм вместо переменной: если $t=\log_b x$, то $x=b^t$, поэтому $x^{\log_b x}=b^{t^2}$.

а) $3^{t^2}=81=3^4$, значит $t=\pm2$. Тогда $x=3^t$, то есть $x=9$ или $x=\frac19$.

б) Пусть $t=\log_{1/2}x$. Тогда $(1/2)^{t^2}=(1/2)^4$, откуда $t=\pm2$. Следовательно, $x=(1/2)^t$: $x=\frac14$ или $x=4$.

в) $2^{t^2}=16=2^4$, значит $t=\pm2$. Получаем $x=2^t$: $x=4$ или $x=\frac14$.

г) Пусть $t=\log_{1/3}x$. Тогда $(1/3)^{t^2}=(1/3)^4$, значит $t=\pm2$. Следовательно, $x=(1/3)^t$: $x=\frac19$ или $x=9$.

Ответ: а) $\frac19, 9$; б) $\frac14, 4$; в) $\frac14, 4$; г) $\frac19, 9$.

1564. Решите уравнение: а) \(x^{\log_3 x}=81\); б) \(x^{\log_{0,5}x}=\frac1{16}\); в) \(x^{\log_2 x}=16\); г) \(x^{\log_{1/3}x}=\frac1{81}\).