1566. а) $\log_2((x-3)(x+5))+\log_2\frac{x-3}{x+5}=2$; б) $\log_3((x+3)(x+5))+\log_3\frac{x+3}{x+5}=4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1566. а) $\log_2((x-3)(x+5))+\log_2\frac{x-3}{x+5}=2$; б) $\log_3((x+3)(x+5))+\log_3\frac{x+3}{x+5}=4$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область допустимых значений обоих логарифмов: $x<-5$ или $x>3$. Объединяем логарифмы:

$\log_2\left((x-3)(x+5)\cdot\frac{x-3}{x+5}\right)=2$, то есть $\log_2((x-3)^2)=2$.

Тогда $(x-3)^2=4$, откуда $x=5$ или $x=1$. Области допустимых значений удовлетворяет только $x=5$.

б) Область допустимых значений: $x<-5$ или $x>-3$. Объединяем логарифмы:

$\log_3\left((x+3)(x+5)\cdot\frac{x+3}{x+5}\right)=4$, то есть $\log_3((x+3)^2)=4$.

Следовательно, $(x+3)^2=81$, откуда $x=6$ или $x=-12$. Оба значения входят в область допустимых значений.

Ответ: а) 5; б) −12, 6.

1566. а) \(\log_2((x-3)(x+5))+\log_2\frac{x-3}{x+5}=2\); б) \(\log_3((x+3)(x+5))+\log_3\frac{x+3}{x+5}=4\).