1562. Решите уравнение: а) $\log_x(2x^2+x-2)=3$; б) $\log_{2x-1}(3x^2+x-4)=\log_{2x-1}(x^2-6x-6)$; в) $\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3$; г) $\log_{4x-3}(2x^2-3x-1)=\log_{4x-3}(x^2+2x-5)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1562. Решите уравнение: а) $\log_x(2x^2+x-2)=3$; б) $\log_{2x-1}(3x^2+x-4)=\log_{2x-1}(x^2-6x-6)$; в)…$ Фото задания

1562. Решите уравнение: а) $\log_x(2x^2+x-2)=3$; б) $\log_{2x-1}(3x^2+x-4)=\log_{2x-1}(x^2-6x-6)$; в) $\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3$; г) $\log_{4x-3}(2x^2-3x-1)=\log_{4x-3}(x^2+2x-5)$.

Accepted Answer

а) Основание должно удовлетворять условиям $x>0$, $x\ne1$. По определению логарифма $2x^2+x-2=x^3$. Тогда $(x-1)(x-2)(x+1)=0$. С учётом условий подходит только $x=2$; аргумент равен 8.

б) Для основания необходимо $2x-1>0$ и $2x-1\ne1$. При одинаковых допустимых основаниях равенство логарифмов требует равенства аргументов:

$3x^2+x-4=x^2-6x-6$, поэтому $2x^2+7x+2=0$. Корни $\frac{-7\pm\sqrt{33}}{4}$ не удовлетворяют условию $x>\frac12$. Решений нет.

в) Условия основания: $x>1$, $x\ne2$. По определению логарифма $12x-x^2-19=(x-1)^3$. Получаем $x^3-2x^2-9x+18=0$, или $(x-2)(x-3)(x+3)=0$. Условиям основания удовлетворяет только $x=3$; аргумент равен 8, основание равен 2.

г) Основание должно быть положительным и не равным 1: $x>\frac34$, $x\ne1$. Равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт равенство аргументов:

$2x^2-3x-1=x^2+2x-5$, откуда $(x-1)(x-4)=0$. Число 1 запрещено для основания, поэтому подходит $x=4$; оба аргумента равны 19.

Ответ: а) 2; б) решений нет; в) 3; г) 4.

1562. Решите уравнение: а) \(\log_x(2x^2+x-2)=3\); б) \(\log_{2x-1}(3x^2+x-4)=\log_{2x-1}(x^2-6x-6)\); в) \(\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3\); г) \(\log_{4x-3}(2x^2-3x-1)=\log_{4x-3}(x^2+2x-5)\).

Ответ: